a*是a的伴随矩阵a*a=aa*=|a|e这个式子怎么来的?

简介：
矩阵在线性代数中起着重要的作用，伴随矩阵是其中的一种特殊种类。

在伴随矩阵的概念中，矩阵a的伴随矩阵a*有一个特殊性质，即它满足aa*=a*a=|a|e的关系。

那么这个式子从何而来呢？接下来我们将详细探讨。

内容导航：
一、矩阵a的伴随矩阵
二、推导aa*=a*a=|a|e的过程
三、结论和应用内容详情：
一、矩阵a的伴随矩阵
伴随矩阵是指对于一个n阶矩阵，将其余子式行列式先代入所形成的矩阵后，再转置得到的矩阵。

对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，能够使得矩阵A与adj(A)相乘得到一个n阶单位矩阵，即AA*=adj(A)A*=|A|E。

二、推导aa*=a*a=|a|e的过程
在伴随矩阵的定义下，我们可以推导出aa*=a*a=|a|e的关系。

首先，我们知道伴随矩阵的定义，即对于n阶矩阵A，其伴随矩阵adj(A)是与其所有余子式行列式组成的矩阵的转置，即： T
adj(A) = (A~)其中A~表示A的所有余子式行列式组成的矩阵。

同时，我们还知道矩阵的行列式是表示对角线元素乘积和反对角线乘积之和的一种方式，即：|A| = a11*a22*...*ann + a12*a23*...*an1+ a21*a32*...*a1n+...+ an-1n-2*an-2n-1*ann接下来我们来推导aa*=a*a=|a|e的关系，即：aa*=a*a将a代入，有：⎡a11 a12 ... a1n⎤⎡a11 a12 ... a1n⎤ ⎡ a11^2 + a12a21 + a13a31 + ... + an1a1n a11a12 + a12a22 +
|a21 a22 ... a2n|⎢a21 a22 ... a2n⎥=⎢ a21a11 + a22^2 + a23a32 + ... + an2a1n a21a12 + a22a22 + ...
| ... |⎢ ... ⎥ ⎢ ...
|an1 an2 ... ann|⎣an1 an2 ... ann⎦ ⎣an1a11 + an2a21 + ... + ann-1an1 + ann^2 an1a12 + an2a22 + ⎡1 0 ... 0⎤
|0 1 ... 0|
| ... |
|0 0 ... 1|可以发现，两个矩阵的乘积结果为一个n阶单位矩阵，即|a|e，证毕。

三、结论和应用
通过推导我们可以知道，伴随矩阵有特殊的性质，即与原矩阵相乘得到结果为单位矩阵，此性质可用于矩阵求逆中。

在实际应用中，我们可以通过计算aa*=a*a=|a|e，来求解伴随矩阵，从而得到对应的矩阵的逆矩阵，为线性代数中的求逆过程提供了快速而有效的方法。

总结：
伴随矩阵在线性代数中具有重要的意义，它能够用来求解矩阵的逆矩阵，同时还有着特殊的性质。

通过推导aa*=a*a=|a|e的过程，我们可以从一个新的角度来认识伴随矩阵，了解其在实际应用中的价值。